Тот, кто хочет постичь искусство астрологии, должен хорошо знать геометрию небесной сферы. Но для этого нужно хорошо усвоить основы тригонометрии.
Эта статья знакомит вас с математическими основами, необходимыми для понимания аппарата первичных дирекций в натальной карте.
[toc]
Проблема
Представьте себе звезду на небесной сфере. Как проще всего описать ее координаты? Как вы уже знаете из предыдущей статьи, любую точку на сфере можно определить по ее сферическим координатам, то есть через два угла:
- Положение (градус звезды) на зодиакальном круге, называемое небесной долготой. Это угловое расстояние звезды от 0° Овна по зодиакальному кругу в последовательности знаков.
- И перпендикулярное отклонение звезды от плоскости зодиакального круга, известное как небесная широта.
Но вот проблема. Что, если я хочу найти подобные координаты в экваториальной плоскости, то есть экваториальный градус и отклонение от плоскости экватора? Дело в том, что эти координаты необходимы для расчета примарных дирекций.
Итак, проблема. Есть звезда, с известным градусом зодиакального круга и отклонением от плоскости эклиптики. Совершенно непонятно, как теперь выразить положение этой же звезды в экваториальных координатах, необходимых для расчета дирекций.
Экваториальная плоскость не совпадает с эклиптической - она отклонена примерно на 23 градуса. Это отклонение известно как наклон эклиптики.
Для того, чтобы преобразовать экваториальные градусы в эклиптические нужно нечто большее, чем простое сложение и вычитание.
В этой статье мы положим основу надежного математического аппарата для работы с небесными координатами, равно как и для их преобразования.
Все начинается с простых пропорций
Для простоты рассмотрим Солнце на зодиакальном круге. По определению, зодиакальный круг — это линия, по которой движется Солнце в течение года. Солнце не имеет небесной широты.
Вскоре мы посмотрим на зодиакальный круг сверзу (со стороны Сверного полюса). Но сначала,
- Обозначим радиус зодиакального круга через $R$.
- Направим ось $\textbf{X}$ в 0° Овна, а ось $\textbf{Y}$ в 0° Рака.
Раз Солнце находитсмя на круге, то $x$ и $y$ Солнца как-то связаны между собой - они не могут быть произвольными, иначе Солнце оказалось бы внутри или вне круга. Какая связь между координатами $x$ и $y$ Солнца?
Посмотрим на зодиакальный круг сверху и взглянем на треугольник $ABC$ со сторонами $x$, $y$ и $R$. Если опустить перпендикуляр из точки $B$ на сторону $R$, то получим два маленьких треугольника с одинаковыми углами $lon$ и $\beta = 90°$.
Давайте расположим наши маленькие треугольники 1 и 2 внутри нашего исходного треугольника так, чтобы углы $lon$ всех трех треугольников находились в одном и том же месте.
Вы видите, что треугольники подобны. Это означает, что отношение их сторон равны.
В частности:
$$\frac{x}{R} = \frac{r_2}{x}$$ $$\frac{y}{x} = \frac{r_1}{y}$$
Это означает, что
$$x^2 = r_2 R$$ $$y^2 = r_1 R$$
Так как $r_1 + r_2 = R$, мы имеем
$$\left( \frac{x}{R} \right)^2 + \left( \frac{y}{R} \right)^2 = 1$$
Радиус зодиакального круга $R$ постоянен и не зависит от движения Солнца. Для удобства обозначим координаты $x^\prime$ и $y^\prime$, не зависящие от радиуса, следующим образом:
$$x^\prime = x / R$$ $$y^\prime = y / R$$ $$\left(x^\prime\right)^2 + \left(y^\prime\right)^2 = 1$$
Синус и косинус
В этой новой системе координат $x^\prime, y^\prime$ радиус круга всегда равен 1. Если присмотреться, то можно увидеть, что $y^\prime$-координата Солнца напоминает тетиву натянутого лука. Ось $\textbf{X}^\prime$ здесь представляет собой стрелку, указывающую вправо.
Координату $y$ логично назвать синусом или sin (от санскритского слова «тетива»). Тогда $x^\prime$-координата будет неотъемлемым спутником синуса, поэтому назовем его косинусом или cos, то есть идущим вместе с тетивой лука. Приставка "co" означает "идущую вместе", как в слове "консонанс", "кооперация".
Обе координаты $x^\prime$ и $y^\prime$ зависят от $lon$ - положения Солнца на зодиакальном круге. То есть $x^\prime = \cos(lon)$, а $y^\prime = \sin(lon)$.
Поэтому запишем в предыдущем уравнении $x^\prime$ и $y^\prime$ положения Солнца как функции от угла $lon$. Мы получим:
$$\begin{align} \sin(lon) = x / R \tag{1} \\ \cos(lon) = y / R \\ \sin(lon)^2 + \cos(lon)^2 = 1 \end{align}$$
Эта система уравнений, по-сути, и есть математическое определние синуса и косинуса, а также главного свойства этих функций - сумма их квадратов всегда равна единице.
Связь декартовых и сферических координат
Теперь вернемся к нашей звезде с произвольными координатами. Она имеет небесную широту, которую мы будем обозначать углом $lat$. Проекция радиуса $R$ небесной сферы на плоскость $xy$ зодиакального круга есть $R \cos(lat)$.
Из ($1$) следует:
$$\begin{cases} x = R \cos(lon)\cos(lat) \\ y = R \sin(lon)\cos(lat) \\ z = R \sin(lat) \end{cases}\tag{2}$$
$$ \begin{cases} \sin(lat) = z/R \\ \tan(lon) = y/x \end{cases} $$
Набор уравнений ($2$) преобразует декартовы координаты $(x, y, z)$ в сферические координаты $(lon, lat)$.
Имея на руках эти формулы, мы можем перейти к следующему шагу — переходу из одной системы координат в другую.
Итог
Теперь вы знакомы со следующими терминами:
- синус,
- косинус и
- декартовы координаты.
Вы также узнали формулы перевода декартовых координат в сферические.
