В этой статье мы выведем основные уравнения сферического треугольника. Эти уравнения выражают соотношение между углами и изогнутыми сторонами треугольника, начерченного на небесной сфере. Эти формулы понадобятся нам для расчета примарных дирекций.
[toc]
Рассмотрим прямоугольный треугольник на сфере со сторонами $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$, а также внутренними углами $A$, $B$ и $C$.
Как будут связаны между собой его стороны и углы?
Повернутые системы координат
Сначала определим вектор $\vec{v}$ в декартовой системе координат $\textbf{XYZ}$.
Из уравнения преобразования (1) следует, что $\vec{v}$ имеет координаты
$$ \vec{v} = \left( \begin{aligned} & x = R\cos\beta \\ & y = 0 \\ & z = R\sin\beta \end{aligned} \right) $$
Теперь воспользуемся уже выведенной нами матрицей вращения, чтобы повернуть $\textbf{XYZ}$ на угол $\alpha$ вдоль плоскости $\textbf{XY}$ и выразить этот вектор в новой (повернутой) системе координат $\textbf X' \textbf Y' \textbf Z'$. В новой системе координат вектор принимает вот такую форму:
$$ \begin{aligned} \vec{v} & = R \cos\alpha \cos\beta~ \textbf X' \\ & - R \sin\alpha \cos\beta~ \textbf Y' \\ & + R\sin\beta~ \textbf Z' \\ \end{aligned} $$
Но, с другой стороны, та же $x'$ компонента вектора $\vec{v}$ есть просто проекция вектора на ось $\textbf X'$ в плоскости угла $\gamma$.
$$ x' = R\cos{\gamma} $$
Это дает нам первое уравнение сферического треугольника:
$$ \cos\gamma = \cos\alpha\cos\beta\tag{1} $$
Теперь мы переходим к следующему шагу и вводим новую систему координат $\textbf X'' \textbf Y'' \textbf Z''$, то есть систему $\textbf X' \textbf Y' \textbf Z'$, повернутую на угол $-B$ (минус B) в плоскости $\textbf Y' \textbf Z'$.
Если мы применим матрицу вращения к системе координат $\textbf X' \textbf Y' \textbf Z'$, мы получим следующую $z''$-компоненту вектора $\vec{v}$:
$$ \begin{aligned} z'' & = \sin B~ y' + \cos B~ z' = \\ & - R \sin B \sin\alpha \cos\beta \\ & + R \cos B \sin \beta \end{aligned} $$
С другой стороны, $z''$-компонента вектора $\vec{v}$ равна нулю. Это означает, что
$$ \sin\alpha = \frac{\tan\beta}{\tan B} \tag{2} $$
Точно такое же соотношение применимо к углу $\beta$:
$$ \sin \beta = \frac{\tan \alpha} {\tan A }\tag{3} $$
Оставшиеся уравнения
Мы уже составили основные уравнения для сферических треугольников:
$$ \begin{cases} \cos \gamma = \cos \alpha \cos\beta \\ \sin \alpha = \tan\beta/ \tan B \\ \sin \beta = \tan\alpha/ \tan A \end{cases} $$
Все остальное — лишь следствие этих трех уравнений.
Во-первых, давайте умножим $(1)$ на $(2)$, и мы получим
$$ \cos \gamma = \frac{1} {\tan A\tan B} \tag{4} $$
Теперь рассмотрим $\sin^2\gamma$:
Точно так же мы можем написать
$$ \sin^2\gamma = \sin^2\beta + \cos^2\alpha \sin^2\beta\tag{5} $$
Теперь разделим обе части уравнения на $\cos^2(\gamma)$:
$$ \begin{aligned} \tan^2\gamma & = \tan^2\alpha \frac {1} {\cos^2\beta} + \tan^2\beta \\ & = \tan^2\beta \tan^2A + \sin^2\alpha\tan^2B \\ & = \sin^2\alpha\tan^2B \left[ \tan^2A + 1\right] \\ & = \frac{\sin\alpha \tan B } {\cos A} \end{aligned} $$
что дает
$$ \sin\gamma = \frac{\sin\alpha} {\sin A}\tag{6} $$
Той же логикой из уравнения $(5)$ мы получаем
$$ \sin\gamma = \frac{\sin\beta} {\sin B}\tag{7} $$
Полученное равенство
$$ \frac{\sin\alpha} {\sin A} = \frac{\sin\beta} {\sin B} $$
также называется теоремой синусов.
Теперь из $(3)$ следует
$$ \sin A = \frac{\tan\alpha} {\sin\beta}\cos A $$
Если мы подставим $\sin A$ из $(6)$, мы получим
$$ \cos A = \frac{\cos\alpha\sin\beta}{\sin\gamma}\tag{8} $$
или
$$ \cos A = \frac{\tan\beta} {\tan\gamma}\tag{9} $$
Аналогичным образом из $(2)$ следует, что
$$ \cos B = \frac{\tan\alpha} {\tan\gamma}\tag{10} $$
Если мы подставим $(7)$ в $(8)$, мы получим
$$ \cos A = \sin B \cos\alpha\tag{11} $$
Аналогично,
$$ \cos B = \sin A \cos\beta\tag{12} $$
Полный список всех уравлений
Мы вывели набор уравнений, необходимых для расчета примарных дирекций. Вот краткое изложение того, что мы получили
Сферический треугольник.
