Уравнения ASC и MC


БлогМатематика небесной сферыСферическая геометрия
Уравнения ASC и MC

8 мая 2024 г. 7:15 Алексей Бореалис (Марк Русборн) 2 мин. на чтение


ASC - это скоращенное название слова ascendant, или восходящий градус зодиакального круга. MC - medium coeli, вершина неба - кульминирующий градус зодиакального круга. Эти две точки формируют так называемые углы гороскопа. В этой статье мы выведем формулы для расчета восходящего и кульминирующего градуса Зодиака.

Мы будем исходить из того, что все, что нам известно, — это местные географические координаты (конкретнее, широта) и местное звездное время.

В предыдущей статье мы ввели понятие звездного времени. Звездные сутки начинаются в 00:00, когда кульминирует 0° Овна и восходит 0° Рака. Поэтому, зная текущий звездный час, можно предсказать точный градус эклиптики, который восходит или кульминирует в настоящий момент.

[toc]

Уравнение ASC

Давайте посмотрим на рисунок ниже:

background Meridian Half-meridian Equator Zodiac RA E S equator outer circle line OA 90° - φ ε 1 2

ASC

У нас есть два прямоугольных сферических треугольника:

  • Первый треугольник со сторонами $OA + AD$, $ASC$ и углом $\epsilon$ между ними
  • Второй - со сторонами $D$, $AD$ и углом $\epsilon$

Здесь мы используем следующие обозначения:

Давайте воспользуемся нашими удобными уравнениями для сферических треугольников, которые мы вывели ранее.

Из уравнения (3) сферических треугольников мы имеем

$$ \sin(AD + OA) = \frac{\tan D}{\tan\epsilon}\tag{1.a} $$ $$ \sin AD = \frac{\tan D}{\tan(90° - \phi)}\tag{1.b} $$

Из уравнения (6) сферических треугольников следует, что

$$ \tan ASC = \frac{\tan(AD + OA)}{\cos\epsilon}\tag{1.c} $$

Разделим $(1.a)$ на $(1.b)$ и распишем синус двух углов согласно ($2$)

$$ \tan AD = \frac{\sin OA \tan\epsilon\tan\phi}{1-\cos OA\tan\epsilon\tan\phi}\tag{1.d} $$

Перепишем $\tan(AD + OA)$ в (1.c) в виде:

$$ \frac{\tan AD + \tan OA} {1 - \tan AD \tan OA} $$

Подставив $(1.d)$ в последнее уравнение, получим формулу для ASC:

$$ \tan ASC = \frac{\sin OA}{\cos\epsilon\cos OA - \tan\phi\sin\epsilon} $$

Как мы обсуждали ранее, $OA_{ASC} = RAMC + 90°$. Это означает, что:

$$ \tan ASC = \frac{-\cos RAMC} {\cos\epsilon\sin RAMC + \tan\phi\sin\epsilon}\tag{2} $$

Уравнение МС

Давайте посмотрим на рисунок ниже:

background Meridian Half-meridian Equator Zodiac meridian outer circle line

MC

Имеем прямоугольный треугольник со сторонами $360°-RAMC$, $360°-MC$ и углом $\epsilon$ между ними.

Из ($9$) следует, что:

$$ \tan(360° - MC) = \cos\epsilon \tan(360° - RAMC) $$

Это дает нам уравнение для MC:

$$ \tan MC = \frac{\tan RAMC}{\cos\epsilon}\tag{2} $$

Итог

Мы вывели уравнения для ASC и MC для заданного звездного времени $t = RAMC / 15$ и заданной географической широты $\phi$

$$\begin{align} &\tan ASC = \frac{-\cos RAMC} {\cos\epsilon\sin RAMC + \tan\phi\sin\epsilon}\tag{1} \\\ &\tan MC = \frac{\tan RAMC}{\cos\epsilon}\tag{2} \end{align}$$

Алексей Бореалис (Марк Русборн)

Алексей Бореалис (Марк Русборн)

Магистр наук (MSc), профессиональный астролог (QHC, DMA). Об авторе