Куспиды домов в системе Плацидуса


БлогМатематика небесной сферыСистемы домов
Куспиды домов в системе Плацидуса

8 мая 2024 г. 8:06 Алексей Бореалис (Марк Русборн) 2 мин. на чтение


Мы уже упоминали в статье о примарных дирекциях, что куспиды домов представляют собой пересечения линий, разделяющих небесную сферу на 12 частей, с зодиакальным кругом.

В этой статье мы выведем уравнения для расчета куспидов домов в системе Плацидуса. Мы будем использовать уравнение мунданной позиции в системе Плацидуса.

[toc]

Уравнения куспидов домов

Давайте для простоты рассмотрим уравнение для куспида 12 дома. По определению, разделительная линия 12-го дома — это множество точек, прошедших 1/3 своего восходящего пути (от восточного горизонта до кульминации). Другими словами, для каждой точки отношение расстояния верхнего меридиана к дневной полудуге составляет 1/3. То есть

$$ R = \frac{UMD}{DSA} = 1/3 $$

Из уравнения (3) предыдущей статьи о мунданных позициях мы получим уравнение S-образной разделительной кривой 12-го дома:

$$ RA(D) = RAMC + [90° + \arcsin(\tan\phi\tan D)] / 3\tag{1} $$

Это уравнение выражает прямое восхождение $RA$ любой точки S-образной кривой как функцию склонения $D$.

С другой стороны, плоскость эклиптики представляет собой набор точек, описываемых уравнением (1) плоскости эклиптики.

Поскольку куспид 12-го дома является пересечением S-образной кривой с плоскостью эклиптики, он имеет координаты $(RA, P)$, которые описываются следующей системой уравнений:

$$\begin{cases} RA = RAMC + [90° + \arcsin(\tan\phi\tan D)] / 3 \\\ \sin RA = \tan D / \tan\epsilon \end{cases}\tag{2}$$

Система уравнений (2) и аналогичные уравнения для других домов не имеют очевидных аналитических решений (корней), поэтому их можно решить только численно.

Численный расчет (старый способ)

Этот способ представляет собой итерацию сходящейся последовательности. Предположим, мы ищем куспид 12-го дома.

  • На нулевом шаге мы откладываем треть дневной полудуги $DSA_0$ экватора от MC. Полученную экваториальную координату (прямое восхождение) обозначаем $R_0$. Далее из уравнения эклиптики мы находим склонение $D_0$, которое соответствует найденному прямому восхождению.
  • Далее мы вычисляем длину дневной полудуги $DSA_1$, соответствующей найденному склонению.
  • После этого мы откладываем треть $DSA_1$ от MC и обозначаем полученное прямое восхождение за $R_1$.
  • После чего повторяем цикл уже для $R_1$
RA 1 RA 2 MC RAMC DSA 1 DSA 2 RA 3 /3 /3

Сходящаяся последовательность прямых восхождений

Мы получаем сходящуюся последовательность прямых восхождений $[R_0, R_1, R_2, ... R_n]$, в которой $\Delta R_n \rightarrow 0$.

Если обозначить длину дневной полудуги как функцию $DSA(RA)$, то мы получим последовательность

$$ \begin{align} & DSA_0 = 90^{\circ}\\\ & RA_0 = RAMC + DSA_0 / 3\\\ & RA_1 = RAMC + DSA_1(RA_0) / 3\\\ & RA_2 = RAMC + DSA_2(RA_1) / 3 \end{align} $$

и так далее

Как найти длину дневной полудуги?

Из уравнения (3) дневной полудуги и уравнения (1) разницы восхождений мы получаем

$$ DSA = 90^{\circ} + \arcsin(\tan\phi\tan\tan D) $$

где $\phi$ - географическая широта наблюдателя.

Взяв косинус правой и левой части уравнения и подставляя уравнение (2) эклиптики, мы получаем

$$ DSA(RA) = \arccos(-\sin RA\tan\phi\tan\epsilon) $$

Здесь $\epsilon$ - наклон эклиптики

Таким образом, наш алгоритм выглядит следующим образом:

$$ \begin{align} & RA_0 = RAMC + 30^{\circ}\\\ & RA_1 = RAMC + \arccos(-\sin RA_0\tan\phi\tan\epsilon) / 3\\\ & RA_2 = RAMC + \arccos(-\sin RA_1\tan\phi\tan\epsilon) / 3 \end{align} $$

и так далее, пока $\Delta = RA_{n+1} - RA_n$ не обретет нужный порядок малости.

В чем проблема такого подхода?

Во-первых, в таком виде асимптотическое решение находит ровно один куспид дома. Однако, как мы показали в статье про дома Плацидуса у нас возможны несколько пересечений разделительной домовой линии и эклиптики, то есть несколько куспидов 12-го дома.

Во-вторых, в таком вида алгоритм плохо применим для заполярных широт. Может оказаться так, что точка эклиптики с координатой $RA_n$ никогда не восходит и не заходит. В этом случае мы не сможем вычислить $DSA(RA)$. Даже если мы и попытаемся, то мы получим математическое выражение арккосинуса числа, большего по модулю единицы, что приведет к вычислительной ошибке.

Зная эту особенность поведения системы домов Плацидуса в экстремальных широтах, нам следует применять любой другой численный метод, который находит несколько корней уравнения (2) этой статьи, не выходя за пределы склонений, на которых еще возможно восхождение точек эклиптики.


Алексей Бореалис (Марк Русборн)

Алексей Бореалис (Марк Русборн)

Профессиональный астролог. Об авторе