Мунданная позиция в системе Региомонтана


БлогМатематика небесной сферыРасчет дирекций
Мунданная позиция в системе Региомонтана

8 мая 2024 г. 8:35 Алексей Бореалис (Марк Русборн) 4 мин. на чтение


Из статьи о примарных дирекциях вы уже знаете, что пространственное соединение двух планет на небесной сфере - это совпадение мунданных позиций этих планет. Напомню, что мунданная позиция планеты - это пересечение круга позиций планеты с небесным экватором.

В этой статье мы выведем уравнение для рассчета мунданной позиции планеты в системе Региомонтана.

Мы будем исходить из того, что нам известны координаты планеты, географическая широта наблюдателя, а также местное звездное время (или RAMC).

[toc]

Как выглядит мунданная позиция планеты в системе Региомонтана?

Посмотрите на рисунок ниже. Здесь

P M

Круг позиций планеты P (зеленая линия)

Способ расчета 1

Рассмотрим треугольник со стороной $OA_{ASC} - RA_M$ и углами $\phi$ и $\beta$. Угол $\beta$ нам неизвестен, но мы можем легко найти его с помощью уравнения (4) сферических треугольников.

$$ \cos(OA_{ASC} - RA_M) = \frac{1}{\tan\phi\tan\beta} $$

Теперь рассмотрим большой треугольник со сторонами $RA_p - RA_M$, $D$ и углом $\beta$. Согласно ур. (3) сферических треугольников

$$ \sin(RA_P - RA_M) = \frac{\tan D}{\tan\beta} $$

Подставляем только что найденный угол $\beta$ и получаем следующее:

$$ \sin(RA_P - RA_M) = \tan D\tan\phi\cos(OA_{ASC} - RA_M)\tag{1} $$

Если мы распишем синус и косинус суммы двух углов, описанных уравнением. (3) и умножаем обе части на $1/cos(RA_M)$, получаем:

$$ \tan RA_M = \frac{\sin RA_P - \tan D \tan\phi \cos OA_{ASC}} {\cos RA_P + \tan D \tan\phi \sin OA_{ASC}}\tag{2} $$

Вспомним формулу косого восхождения, $OA_{ASC} = RAMC + 90°$. Тогда мы получим

$$ \begin{cases} \cos OA_{ASC} = - \sin RAMC \\ \sin OA_{ASC} = \cos RAMC \end{cases} $$

В итоге мы имеем:

$$ \tan RA_M = \frac{\sin RA_P + \tan D \tan\phi \sin RAMC} {\cos RA_P + \tan D \tan\phi \cos RAMC}\tag{3} $$

Мунданные позиции куспидов домов рассчитывается достаточно просто. Косое восхождение асцендента совпадает с мунданным положением 1-го дома. По определению, система домов Регимонтана построена таким образом, что начиная с этого градуса, мы отсчитываем 30°, затем 60°, затем 90° и так далее, и проводим круги позиций через эти точки. Они служат разделительными линиями в системе Регимонтана.

Это означает, что мунданное положение $n$-го дома определяется следующим образом:

$$ MP_\text{Cusp} = OA_\text{ASC} + 30° (n - 1)\tag{4} $$

Способ расчета 2

Первоначальная идея Региомонтана заключалась в следующем. Во-первых, он принял круг позиций планеты за действительный горизонт. Он повернул небесную сферу на некоторый угол $\gamma$ вдоль примарной вертикали так, чтобы круг позиций был параллелен взгляду наблюдателя, как показано на рисунке ниже.

Equator Zodiac P outer circle line β Zenith Pole γ

Подход Региомонтана к вычислению мунданной позиции

С этой точки зрения мунданная позиция точки $P$ — это просто косое восхождение над кругом позиций, как если бы это был горизонт.

Региомонтан ввел так называемую высоту полюса для данной планеты, которая представляет собой угловое расстояние вдоль перпендикулярной линии, проведенной от небесного полюса до круга позиций планеты. Таким образом, угол $\beta$, о котором мы упоминали ранее, равен $90° - alt$

Выразим $\beta$ как функцию от $\gamma$. Сначала мы найдем $\gamma$ по экваториальным координатам точки. Мы будем использовать матрицы вращения.

outer circle line outer circle line ΔR D X Y' Z' Y Z'' φ γ

Декартова система координат

Обозначим через $\textbf{XYZ}$ декартову систему координат, где $\textbf{X}$ указывает на запад, а $\textbf{Y}$ на северный полюс. Сферическими координатами планеты в этой системе являются склонение $D$ и $\Delta R = RA_P - OA_{ASC}$.

Мы можем записать координаты вектора согласно уравнению. (2) сферических треугольников:

$$\begin{align} \vec{v} & = \cos D \cos\Delta \cdot \mathbf{X} \\ & + \cos D \sin\Delta \cdot \mathbf{Y} \\ & + \sin D \cdot \mathbf{Z} \end{align}$$

Горизонтальная система координат $\mathbf{X}' \mathbf{Y}' \mathbf{Z}'$ повернута на угол $-(90° - \phi)$ вдоль плоскости $\textbf{XY}$.

Чтобы выразить вектор в повернутой системе координат, используем матрицу вращения

$$\mathbf{A}_{XY} = \left[\begin{array} {rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \sin\phi & \cos\phi \\ 0 & -\cos\phi & \sin\phi \end{array}\right] $$

Это дает нам новые координаты вектора

$$\begin{cases} & x^\prime = \cos D \cos\Delta \\\ & y^\prime = \sin\phi \cos D \sin\Delta + \cos\phi\sin D \\\ & z^\prime = -\cos\phi\cos D\sin\Delta + \sin\phi\sin D \end{cases}$$

Система координат $\mathbf{X}''\mathbf{Y}''\mathbf{Z}''$ на круге позиций повернута на угол $\gamma$ вдоль плоскости $\mathbf{X}'\mathbf{Z}'$. Чтобы выразить координаты вектора в этой системе, мы можем применить матрицу

$$\mathbf{A}_{X^{\prime} Y^{\prime}} = \left[\begin{array} {rrr} \cos\gamma & 0 & \sin\gamma \\ 0 & 1 & 0 \\ -sin\gamma & 0 & \cos\gamma \end{array}\right] $$

В частности, z''-координата вектора

$$ z'' = -\sin\gamma ~x' + \cos\gamma ~z' $$

По определению круга позиций планета всегда находится в плоскости $\mathbf{X}''\mathbf{Y}''$, т. е. $z'' = 0$

$$ 0 = -\sin\gamma ~x^\prime + \cos\gamma ~z^\prime $$

или

$$\begin{align} & \tan\gamma = \frac{-\cos\phi\cos D \sin\Delta + \sin\phi \sin D} {\cos D \cos\Delta} \\\ & \Delta = RA_p - OA_{ASC} \end{align}$$

Рассмотрим треугольник с углами $\beta$ и $\phi$ на рис. 1. Из ур. (12) сферических треугольников следует, что

$$ \cos\beta = \sin\phi\cos\gamma $$

Итак, мы наконец выразили угол $\beta$ через угол $\gamma$ между горизонтом Земли и горизонтом планеты (то есть, кругом позиций).

Высота полюса над горизонтом планеты составляет $90° - \beta$:

$$ \sin Alt = \sin\phi\cos\gamma $$

Теперь мунданная позиция планеты $P$ — это косое восхождение планеты над ее горизонтом. Мы уже вывели уравнение (2) для косого восхождения планеты. Вместо угла phi $\phi$ (широты полюса над горизонтом Земли) вставляем широту полюса над горизонтом планеты.

$$ RA_M = RA_P - \tan Alt \tan D $$

Собрав все вместе, мы получаем набор уравнений для мунданного положения точки $P$ в классическом подходе Региомонтана:

$$\begin{cases} RA_M = RA_P - \arcsin(\tan Alt\tan D) \\\ \sin Alt=\sin\phi \cos\gamma \\\ \tan\gamma = -\cos\phi\tan\Delta + \sin\phi\tan D / \cos\Delta \\\ \Delta = RA_P - OA_{ASC} \end{cases}$$

Алексей Бореалис (Марк Русборн)

Алексей Бореалис (Марк Русборн)

Профессиональный астролог. Об авторе